Wahadło

Z Wikipedii

(Przekierowano z Wahadło matematyczne)

Skocz do: nawigacji, szukaj

Ten artykuł dotyczy pojęcia fizycznego. Zobacz też: Wahadło (narzędzie tortur).

Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe.

Animacja ruchu wahadła ukazująca wektor prędkości i wypadkowego przyspieszenia.

Wahadło – ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

matematyczne
fizyczne

Spis treści

1 Wahadło matematyczne
- 1.1 Analiza ruchu wahadła
  - 1.1.1 Przybliżenie małej amplitudy
  - 1.1.2 Wahania o dużej amplitudzie
2 Wahadło fizyczne
3 Wahadło Foucaulta
4 Inne
5 Źródła

[edytuj] Wahadło matematyczne

Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest niezależność okresu drgań od maksymalnego wychylenia dla niewielkich wychyleń wahadła.

[edytuj] Analiza ruchu wahadła

W wahadle matematycznym poruszające się ciało jest masą punktową, zawieszoną na nieważkiej nitce o długości l. Na ciało to działa stała siła grawitacji. Gdy wahadło odchylone jest z położenia równowagi, składowa siły grawitacji wzdłuż nici jest równoważona przez nić, a składowa prostopadła do nici działająca w kierunku punktu równowagi nadaje ciału przyspieszenie. Ruch ciała ograniczony nicią jest ruchem po okręgu. Z definicji przyspieszenia kątowego oraz z II zasady dynamiki dla ruchu punktu materialnego po okręgu, dla kątów wyrażonych w mierze łukowej kąta, wynikają zależności:

$\varepsilon =\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}$

$-mg l \sin \theta =ml^{2}\cdot \frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}$

[edytuj] Przybliżenie małej amplitudy

Dla małych wychyleń, θ jest bliskie zera, wówczas funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem (zobacz: Funkcje trygonometryczne), co prowadzi do równania:

$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{l}\theta =0$

Powyższe równanie jest równaniem ruchu drgającego harmonicznego, którego ogólna postać jest dana wzorem:

$\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}+\omega ^{2}\theta =0$

gdzie $\omega =\frac{2\pi }{T}$ jest częstością kołową drgań a T - okresem. Wynika stąd, że okres drgań wynosi:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Takie drgania wahadła matematycznego (bez działania sił zewnętrznych) nazywamy drganiami własnymi wahadła.

[edytuj] Wahania o dużej amplitudzie

Zależność okresu drgań wahadła

T

od kąta wychylenia

θ

.

Dla dużych wychyleń okres drgań zależy od maksymalnego wychylenia θ₀ i rośnie wraz jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór:

$\begin{alignat}{2} T & = 2\pi \sqrt{l\over g} \left( 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4\left(\frac{\theta_0}{2}\right) + \cdots \right) \\ & = 2\pi \sqrt{l\over g} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left[ \left ( \frac{(2 n)!}{( 2^n \cdot n! )^2} \right )^2 \cdot \sin^{2 n}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right] \end{alignat}$

Gdy w powyższym wzorze pominie się wyrazy poza pierwszym, otrzymuje się wzór dla małych wychyleń.

[edytuj] Wahadło fizyczne

Bryła sztywna mogąca wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l_0}{g}}$ ,

wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła $l 0$

$l_0 = \frac{I}{md}$

gdzie:

d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,
g - przyspieszenie ziemskie,
I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,
m - masa ciała.

[edytuj] Wahadło Foucaulta

Zobacz więcej w osobnym artykule: Wahadło Foucaulta.

Wahadło Foucaulta w Poznaniu

Jest to duża masa zawieszona na długiej linie. Dzięki działaniu siły Coriolisa spowodowanej obrotem Ziemi, płaszczyzna drgań wahadła ulega powolnemu obrotowi. Ściśle mówiąc płaszczyzna wahań jest stała w układzie inercjalnym, zatem musi obracać się w układzie wirującym. Obserwowany okres obrotu płaszczyzny ruchu wahadła można zapisać w postaci przybliżonej jako:

$T\approx \frac{24 \operatorname {h}}{sin\varphi}$

gdzie $φ$ , to szerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło.

[edytuj] Inne

Zobacz też: zegar wahadłowy

[edytuj] Źródła

Fizyka Mieczysław Jeżewski, , PWN, Warszawa 1966.
”Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych. T. 1” R. Resnick, D. Halliday (Państ. Wydaw. Naukowe, Warszawa, 1980 r., ISBN 830100987X) tłum. Teresa Butler, Lech Kaniowski i Wojciech Ratyński.
“Fizyka. T. 1” Robert Resnick, David Halliday (Wydaw. Naukowe PWN, Warszawa, 1993 r.) tłum. Teresa Butler-Kaniowska i Wojciech Ratyński.
''Wstęp do fizyki A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, PWN, Warszawa 1984.
Mechanika Część I. Monografie Matematyczne 8, Stefan Banach:, Warszawa-Lwów-Wilno, 1938, s. V+234, dostępne pod [1]
Pomiar natężenia pola grawitacyjnego w Siedlcach przy pomocy modelu wahadła matematycznego [2]

no host 906 brak hosta brak hosta 906

www.naUka.streszczenia.info