Tensor momentu bezwładności

Brak wersji przejrzanej

Tensor momentu bezwładności - trójwymiarowy tensor drugiego rzędu opisujący wielkość fizyczną moment bezwładności. Występuje on w równaniu wiążącym moment pędu z prędkością kątową dla danego ciała

$\bar{L}=\hat{I}\bar{\omega}$

gdzie:

Tensor bezwładności zapisany jako macierz wygląda następująco

$\hat{I} = \left(\begin{matrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz}\\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}\\ \end{matrix} \right)$

Tensor ten jest tensorem symetrycznym (jego macierz jest symetryczna).

Współczynniki diagonalne (leżące na przekątnej nazywamy) momentami głównymi, natomiast pozadiagonalne momentami dewiacji.

Wartości współczynników tensora momentu bezwładności w przypadku dyskretnego rozkładu masy definiuje się przez

$I_{ij} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k} m_{k} (r_k^{2}\delta_{ij} - r_{ki}r_{kj})\,\!$

gdzie

Rozpisując powyższy wzór na składowe otrzymujemy wzory na momenty główne

$I_{xx} = \sum _{k} m_{k} (y^{2}_{k}+z^{2}_{k}) = \sum _{k} m_{k}(r^{2}_{k} - x^{2}_{k})\!$

$I_{yy} = \sum _{k} m_{k} (z^{2}_{k}+x^{2}_{k}) = \sum _{k} m_{k}(r^{2}_{k} - y^{2}_{k})\!$

$I_{zz} = \sum _{k} m_{k} (x^{2}_{k}+y^{2}_{k}) = \sum _{k} m_{k}(r^{2}_{k} - z^{2}_{k})\!$

oraz momenty dewiacyjne

$I_{xy} = I_{yx} = - \sum _{k} m_{k} x_{k}y_{k}\!$

$I_{yz} = I_{zy} = - \sum _{k} m_{k} y_{k}z_{k}\!$

$I_{zx} = I_{xz} = - \sum _{k} m_{k} z_{k}x_{k}\!$

Gdzie:

$x i$ , $y i$ , $z i$ - są odległościami i-tego punktu od osi OX, OY, OZ (składowymi wektora wodzącego i-tego punktu)
$m i$ - masa i-tego punktu

Postać dla rozkładu ciągłego z gęstością masy ρ(x,y,z) o objętości V:

$I_{ij} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\limits _{V} \rho(x,y,z) (r^{2}\delta_{ij} - r_{i}r_{j})dv\,\!$

Usługi ogrodnicze Szczecin

Firma Ekoos ze Szczecina oferuje takie usługi jak nawadnianie ogrodów, traw...

iPhone

Serwis informacyjny dotyczący nowego produktu firmy Apple - iPhone. Zaprasz...

Praca nad morzem

Szukasz pracy?? Dzięki nam jest to dziecinnie proste. Wejdź, sprawdź i znaj...

Praca nad morzem

Nie wyjeżdżaj za granicę! Pracuj w Polsce! Oferty wakacyjne 2007, setki ogł...

Śmieszne koszulki

Sklep internetowy z koszulkami i innymi ciekawymi akcesoriami. Śmieszne, ci...

www.naUka.streszczenia.info