Paradoks Banacha-Tarskiego

Z Wikipedii

Paradoks Banacha–Tarskiego: Kula może być pocięta na skończenie wiele kawałków z których można złożyć dwie kule identyczne z kulą wyjściową

Paradoks Banacha–Tarskiego (Hausdorffa–Banacha–Tarskiego) – słynne paradoksalne twierdzenie teorii mnogości sformułowane i udowodnione przez polskich matematyków Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w roku 1924.

Pozorny paradoks polega na tym, że korzystając z pewnika wyboru można zwykłą trójwymiarową kulę "rozciąć" na skończoną liczbę części, a następnie używając wyłącznie obrotów i translacji złożyć dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej. Nie jest to jednak istotna sprzeczność, jako że części tego podziału nie są mierzalne w sensie Lebesgue'a, więc naturalna argumentacja oparta na pojęciu miary (czy też objętości) nie ma tu zastosowania.

Podobnie nieintuicyjnym wydaje się wariant twierdzenia Banacha-Tarskiego z którego wynika, że ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca. I tutaj nie ma żadnej sprzeczności – kawałki podziału są niemierzalne. (Należy zauważyć, że podział fizycznego ziarnka grochu na niemierzalne części jest niemożliwy w świecie rzeczywistym.)

Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki mają duże znaczenie we współczesnej matematyce, jako że wskazują one ograniczenia na możliwe rozszerzenia miary Lebesgue'a niezmiennicze na pewne przekształcenia przestrzeni euklidesowych.^[1]

Warto tu zacytować motto z jednej książek dotyczących paradoksu Banacha-Tarskiego^[2]:

Delijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy?

Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie objętość ołtarza Apolla, zachowując jego kształt sześcianu!

Banach i Tarski: Czy możemy użyć aksjomatu wyboru?

[edytuj] Rys historyczny

1905: Giuseppe Vitali podaje przykład zbioru niemierzalnego na okręgu jednostkowym, który to zbiór jest podstawą rozkładu σ-paradoksalnego okręgu^[3]. (Zobacz sekcja poniżej.)
1914: polscy matematycy Stefan Mazurkiewicz i Wacław Sierpiński publikują przykład paradoksalnego podzbioru płaszczyzny ${\mathbb R}^2$ ^[4].
1915: Felix Hausdorff publikuje twierdzenie, że po usunięciu przeliczalnie wielu punktów ze sfery jednostkowej można otrzymać zbiór który jest paradoksalny ze względu na grupę obrotów $S O 3$ ^[5].
1924: praca Banacha i Tarskiego przedstawiająca dowód ich twierdzenia ukazuje się w druku^[6].
1991: wrocławski matematyk Janusz Pawlikowski wykazuje, że zakładając ZF i twierdzenie Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego^[7].
1994: Randall Dougherty i Matthew Foreman dowodzą, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki które mają własność Baire'a^[8].

[edytuj] Wstępne przykłady

W zasadzie już Galileusz^[9] zauważył, że zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}$ może być podzielony na dwie części z których każda może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na cały zbiór $\mathbb{N}$ . Rozważmy na przykład zbiór liczb parzystych $P=\{0,2,4,6,\ldots\}$ i jego dopełnienie czyli zbiór liczb nieparzystych $N=\{1,3,5,\ldots\}$ . Funkcja $f_P:P\longrightarrow {\mathbb N}:k\mapsto k/2$ jest bijekcją z P na $\mathbb{N}$ oraz funkcja $f_N:N\longrightarrow {\mathbb N}:k\mapsto (k-1)/2$ jest bijekcją z N na $\mathbb{N}$ .

Każde dwa nietrywialne odcinki na prostej rzeczywistej są równoliczne (w ZF) i funkcja ustalająca równoliczność jest bardzo porządna (np w przypadku dwóch przedziałów otwartych może być to funkcja liniowa). Zatem każdy nietrywialny odcinek może być podzielony na dwie rozłączne części (odcinki) i każda z tych części może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na odcinek wyjściowy. Podobna obserwacja ma miejsce w odniesieniu do prostokątów, prostopadłościanów i wielu innych figur geometrycznych.

Rozważmy zbiór Vitalego na okręgu jednostkowym. Najwygodniej jest ten zbiór opisać jeśli zinterpretujemy punkty płaszczyzny jako liczby zespolone. Nasz okrąg to zbiór $O=\{e^{2\pi ri}:r\in {\mathbb R}\}=\{e^{2\pi ri}:r\in [0,1)\}$ . Określmy na tym zbiorze relację równoważności $\cong$ przez warunek

$e^{2\pi ri}\cong e^{2\pi si}$ wtedy i tylko wtedy gdy

r - s

jest liczbą wymierną.

Zakładając aksjomat wyboru, możemy znaleźć zbiór $M\subseteq O$ który jest selektorem z klas abstrakcji relacji $\cong$ . Zatem zbiór M spełnia następujące dwa warunki:

(a) $(\forall s,t\in M)(s\neq t\ \Rightarrow\ s\not\cong t)$ oraz

(b) $(\forall s\in O)(\exists t\in M)(s\cong t)$ .

Przedstawmy zbiór liczb wymiernych w przedziale

[0,1)

jako sumę ${\mathbb Q}\cap [0,1)=A\cup B$ dwóch zbiorów nieskończonych. Wówczas każdy ze zbiorów A,B jest równoliczny ze zbiorem ${\mathbb Q}\cap [0,1)$ , a więc możemy wybrać funkcje wzajemnie jednoznaczne $f_A:A\longrightarrow {\mathbb Q}\cap [0,1)$ i $f_B:B\longrightarrow {\mathbb Q}\cap [0,1)$ . Rozważmy zbiory

$M_A=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge\ q\in A\}$ i $M_B=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge\ q\in B\}$ .

Wówczas $O=M_A\cup M_B$ , $M_A\cap M_B=\emptyset$ oraz funkcje

$\varphi_A:M_A\longrightarrow O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_A(q)i}\cdot t$ i

$\varphi_B:M_B\longrightarrow O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_B(q)i}\cdot t$

są bijekcjami.

W powyższych przykładach użyte funkcje wzajemnie jednoznaczne, nawet jeśli są bardzo porządne, to nie zachowują odległości punktów (czyli nie są izometriami). Zatem przykłady te nie wzbudzają żadnego zdziwienia: odpowiednie zbiory są powiększone/rozdmuchane przez odpowiadające im funkcje. Można jednak zapytać, czy podobne rozkłady istnieją z dodatkową własnością taką, że funkcje ustalające równoliczność kawałków z wyjściowym zbiorem są izometriami (ze względu na naturalne metryki).

Zbiór Vitalego dyskutowany wcześniej pozwala zbudować przykład podziału na przeliczalnie wiele części, tak że z dowolnych nieskończenie wielu kawałków można złożyć wyjściowy okrąg używając tylko obrotów. Niech zbiór M będzie wybrany jak powyżej. Dla $q\in {\mathbb Q}\cap [0,1)$ połóżmy $M^q=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\}$ . Wówczas $\{M^q:q\in {\mathbb Q}\cap [0,1)\}$ jest przeliczalną rodziną parami rozłącznych podzbiorów okręgu O. Przypuśćmy, że $A\subseteq {\mathbb Q}\cap [0,1)$ jest zbiorem nieskończonym. Ustalmy bijekcję $f_A:A\longrightarrow {\mathbb Q}\cap [0,1)$ i zauważmy że

$O=\bigcup\limits_{q\in A} F_q[M^q]$ gdzie $F_q:O\longrightarrow O:e^{2\pi ri}\mapsto e^{2\pi(r+f_A(q)-q)i}$ jest obrotem o kąt $(f_A(q)-q)\cdot 2\pi$ .

Mazurkiewicz i Sierpiński podali w 1914 następujący przykład paradoksalnego (ze względu na izometrie) podzbioru płaszczyzny. Jak wcześniej, utożsamiamy płaszczyznę ze zbiorem liczb zespolonych. Niech

$Z=\{a_0+a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in {\mathbb N}\ \wedge\ a_0,\ldots,a_k\in {\mathbb N}\}$ ,

$Z_0=\{a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in {\mathbb N}\setminus\{0\} \wedge\ a_1,\ldots,a_k\in {\mathbb N}\}$ ,

$Z_+=\{a_0+a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in {\mathbb N}\ \wedge\ a_0,\ldots,a_k\in {\mathbb N}\ \wedge\ a_0>0\}$ .

Można łatwo sprawdzić, że $Z=Z_0\cup Z_+$ , $Z_0\cap Z_+=\emptyset$ (przypomnijmy, że

e i

jest liczbą przestępną) oraz

F 0 [Z 0] = Z

gdzie $F_0:z\mapsto e^{-i}\cdot z$ jest obrotem, a

F + [Z +] = Z

gdzie $F_+:z\mapsto z-1$ jest przesunięciem.

[edytuj] Rozkłady paradoksalne

[edytuj] Definicje

Przypuśćmy, że grupa G działa na zbiorze X.

Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory $B_0,\ldots,B_n,C_0,\ldots,C_m\subseteq A$ (gdzie $n,m\in {\mathbb N}$ ) oraz elementy $g_0,\ldots,g_n,h_0,\ldots,h_m$ grupy G takie, że

$A=\bigcup\limits_{i=0}^n g_i[B_i]$ oraz $A=\bigcup\limits_{j=0}^m h_j[C_j]$ .

Intuicyjnie, można powiedzieć że A jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G jeśli można podzielić zbiór A na skończenie wiele kawałków z których można złożyć dwie kopie zbioru A używając bijekcji wyznaczonych przez elementy grupy G.

Zbiór $A\subseteq X$ jest σ-paradoksalny ze względu na działanie grupy G jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory $B_0,B_1\ldots,C_0,C_1\ldots\subseteq A$ oraz elementy $g_0,g_1,\ldots,h_0,h_1\ldots$ grupy G takie, że

$A=\bigcup\limits_{i=0}^\infty g_i[B_i]$ oraz $A=\bigcup\limits_{j=0}^\infty h_j[C_j]$ .

Niech $A,B\subseteq X$ . Powiemy, że zbiory A i B są kawałkami $G$ -równoważne jeśli można wybrać $A_0,A_1,\ldots, A_n\subseteq A$ , $B_0,B_1,\ldots, B_n\subseteq B$ , $n\in {\mathbb N}$ , oraz $g_0,g_1,\ldots,g_n\in G$ tak że

(a) $A_i\cap A_j=\emptyset=B_i\cap B_j$ dla $i<j\leq n$ ,

(b) $A = \bigcup_{i=0}^n A_i$ , $B= \bigcup_{i=0}^n B_i$

(c)

g i (A i) = B i

dla każdego $i\leq n$ .

[edytuj] Przykłady

Zakładając aksjomat wyboru, okrąg jednostkowy jest σ-paradoksalny ze względu na grupę obrotów $S O 2$ okręgu. (Zobacz dyskusję zbioru Vitalego wcześniej.)
Zbiór Z podany przez Mazurkiewicza i Sierpińskiego (dyskutowany wcześniej) jest paradoksalny ze względu na grupę izometrii płaszczyzny.

Zbiory S(a^-1) i aS(a^-1) zaznaczone na grafie Cayleya grupy wolnej F₂

Rozważmy grupę wolną $F 2$ o dwóch generatorach a i b działającą na sobie przez mnożenie z lewej strony. (Tak więc elementowi $g\in F_2$ odpowiada bijekcja $F_2\ni h\mapsto g h\in F_2$ .) Dla $x\in \{a,a^{-1},b,b^{-1}\}$ niech $S (x)$ będzie zbiorem wszystkich elementów grupy $F 2$ (słów w formie nieskracalnej) które zaczynają się od x. Zauważmy, że

$F_2=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})$ i zbiory występujące w tej sumie są rozłączne, oraz

$F_2=aS(a^{-1})\cup S(a)$ i $F_2=bS(b^{-1})\cup S(b)$ .

Zatem

F 2

jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy

F 2

.

[edytuj] Twierdzenia

W poniższych stwierdzeniach zakładamy aksjomat wyboru (tzn. są to twierdzenia ZFC).

Przypuśćmy, że

(a) grupa G działa na zbiorze X w taki sposób że żadne z odwzorowań $X\ni x\mapsto g(x)\in X$ nie ma punktów stałych (dla $g\in G$ ),

(b) G jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy G (przez mnożenie z lewej strony).

Wówczas zbiór X jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G.

Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli grupa wolna $F 2$ działa na zbiorze X w taki sposób, że żadne z odwzorowań $X\ni x\mapsto g(x)\in X$ nie ma punktów stałych (dla $g\in F_2$ ), to zbiór X jest paradoksalny ze względu na działanie grupy $F 2$ .
Istnieje przeliczalny podzbiór D sfery jednostkowej $S 2$ taki, że zbiór $S_2\setminus D$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy obrotów $S O 3$ .
Jeśli $D\subseteq S_2$ jest przeliczalny, to zbiory $S 2$ i $S_2\setminus D$ kawałkami $S O 3$ -równoważne.

Bezpośrednio z dwóch powyższych twierdzeń możemy wywnioskować twierdzenie Banacha-Tarskiego:

Sfera jednostkowa $S 2$ jest paradoksalna ze względu na działanie grupy obrotów $S O 3$ .

Kolejne wyniki są wnioskami z powyższego twierdzenia. Niech $I 3$ będzie grupą izometrii przestrzeni ${\mathbb R}^3$ .

Każda kula w ${\mathbb R}^3$ jest paradoksalna ze względu na działanie grupy $I 3$ . Również sama przestrzeń ${\mathbb R}^3$ jest paradoksalna ze względu na działanie tej grupy.
Jeśli $A,B\subseteq {\mathbb R}^3$ są zbiorami ograniczonymi o niepustych wnętrzach, to zbiory A, B są kawałkami $I 3$ -równoważne.

[edytuj] Bibliografia

↑ Wagon, Stan: The Banach-Tarski paradox. "Encyclopedia of Mathematics and its Applications", 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. ISBN 0-521-30244-7.
↑ Wagon, Stan: The Banach-Tarski paradox. "Encyclopedia of Mathematics and its Applications", 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. ISBN 0-521-30244-7.
↑ Vitali, Giuseppe: Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. Bologna: Gamberini e Parmeggiani, 1905.
↑ Mazurkiewicz, Stefan; Sierpiński, Wacław: Sur un ensemble superposable avec chacune de ses deux parties. "C. R. Acad. Sci. Paris."158 (1914), s. 618-619.
↑ Hausdorff, Felix: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. "Math. Ann." 75 (1915), s. 428-433.
↑ Banach, Stefan; Tarski, Alfred: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, "Fundamenta Mathematicae" 6 (1924), s. 244-277. Dostępna w formacie pdf tutaj.
↑ Pawlikowski, Janusz: The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. "Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), s. 21-22.
↑ Dougherty, Randall; Foreman, Matthew. Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire. "J. Amer. Math. Soc." 7 (1994), s. 75-124.
↑ Galileo Galilei. Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, 1638

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

(en) Artykuł o paradoksie na PlanetMath

Lek znany od 80 lat eliksirem młodości?

Kto z nas nie chciałby na dłużej zatrzymać młodości, kilka lat więcej cieszyć się sprawnością fizyczną młodzieńca? Być może jest szansa, aby marzenia wielu z nas się spełniły. Uczeni z Uniwersytetu McGill informują, że popularny, znany od 80 lat lek, może opóźniać objawy starzenia.

Paliwożerny bunkier na kółkach

Pancerna limuzyna Obamy. Wytrzyma nawet uderzenie meteorytu? Amerykanów zachęca by przesiedli się do małych, ekologicznych samochodów. A sam będzie jeździł paliwożernym kolosem. Na usprawiedliwienie Baracka Obamy pozostaje fakt, że wybór nowej, prezydenckiej limuzyny to decyzja Secret Service. Bunkier na kółkach albo czołg z oknami - tak określany jest Cadillac One, który od 20 stycznia będzie woził prezydenta USA.

Galaktyki zderzą się wcześniej niż sądzono

Do zderzenia dwóch galaktyk: Drogi Mlecznej i Andromedy dojdzie wcześniej, niż początkowo przewidywali naukowcy.

Zwolniono je z powodu nadwagi

Z powodu dużej nadwagi indyjskie linie lotnicze zwolniły dziesięć stewardes - podano w Delhi.

Ma 102 lata i czeka na proces

102 lata kończy dziś mieszkanka Maceraty w środkowych Włoszech, która trafiła do kronik medialnych na całym świecie w 2005 roku, gdy sąd wyznaczył jej na rok 2010 pierwszą rozprawę w sprawie spadkowej.

no host niezarejestrowana strona 906 brak hosta sprawdz strone

[0] Wagon, Stan: The Banach-Tarski paradox. "Encyclopedia of Mathematics and its Applications", 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. ISBN 0-521-30244-7.

[1] Wagon, Stan: The Banach-Tarski paradox. "Encyclopedia of Mathematics and its Applications", 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. ISBN 0-521-30244-7.

[2] Vitali, Giuseppe: Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. Bologna: Gamberini e Parmeggiani, 1905.

[3] Mazurkiewicz, Stefan; Sierpiński, Wacław: Sur un ensemble superposable avec chacune de ses deux parties. "C. R. Acad. Sci. Paris."158 (1914), s. 618-619.

[4] Hausdorff, Felix: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. "Math. Ann." 75 (1915), s. 428-433.

[5] Banach, Stefan; Tarski, Alfred: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, "Fundamenta Mathematicae" 6 (1924), s. 244-277. Dostępna w formacie pdf tutaj.

[6] Pawlikowski, Janusz: The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. "Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), s. 21-22.

[7] Dougherty, Randall; Foreman, Matthew. Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire. "J. Amer. Math. Soc." 7 (1994), s. 75-124.

[8] Galileo Galilei. Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, 1638

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

www.naUka.streszczenia.info