Obwód RLC - Nauka

Obwód RLC

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
 Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

RLC jest skrótowym oznaczeniem dla obwodów elektrycznych (w tym elektronicznych) składających się tylko z trzech podstawowych elementów pasywnych:

Natężenie prądu w szeregowym obwodzie RLC z doprowadzonym napięciem sinusoidalnie zmiennym wynosi:

I = I0sin(ωt)

Napięcie na zaciskach źródła:

U=U_0 \sin (\omega t + \varphi)

gdzie φ jest różnicą faz między natężeniem prądu i napięciem. Dodatkowo tangens przesunięcia fazowego równa się ilorazowi różnicy reaktancji cewki i kapacitancji kondensatora przez opór omowy:

\operatorname{tg} \varphi = \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}

Zawadą szeregowego obwodu RLC nazywamy całkowity opór takiego obwodu:

Z = \sqrt{R^2 + \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)^2}

Mogą zajść następujące przypadki:

  • \omega L > \frac{1}{\omega C} — obwód ma charakter indukcyjny, kąt przesunięcia fazowego jest większy od zera, więc natężenie prądu spóźnia się w fazie w stosunku do napięcia na zaciskach źródła
  • \omega L < \frac{1}{\omega C} — obwód ma charakter pojemnościowy, kąt przesunięcia fazowego jest mniejszy od zera, napięcie na zaciskach źródła spóżnia się w fazie w stosunku do natężenia prądu
  • \omega L = \frac{1}{\omega C} — zachodzi rezonans napięć, kąt przesunięcia fazowego jest równy zero, napięcie na zaciskach źródła jest zgodne w fazie z natężeniem prądu. W tym przypadku zawada obwodu jest najmniejsza, więc natężenie prądu osiąga największą wartość. Analogicznie dla równoległego obwodu RLC wystąpić może rezonans prądów. Obydwa te zjawiska mogą być bardzo groźne dla całości układu (może wystąpić uszkodzenie elementów). W mieszanych układach występować może wielokrotny rezonans częściowy.

Częstotliwość rezonansowa (czyli taka, przy której zachodzi rezonans napięć) wynosi:

f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}

W klasycznym, szeregowym obwodzie RLC, w dowolnej chwili t suma energii kondensatora, energii cewki oraz praca prądu w ciągu czasu t zamieniona na ciepło w oporze R (tzn. na ciepło Joule'a-Lenza) jest równa energii początkowej kondensatora i jest stała.

\frac{Q^2}{2C}+\frac{LI^2}{2}+\int_0^t I^2R \ dt = \frac{Q_m^2}{2C}=const

Qm jest początkowym ładunkiem kondensatora.

Po zróżniczkowaniu obydwu stron powyższego równania względem czasu t otrzymamy:

2\dot{Q} \frac{Q}{2C}+2I \frac{L \dot{I}}{2}+I^2 R=0

Wiedząc, że:

I=\frac{dQ}{dt}=\dot{Q}

oraz

\dot{I}=\frac{dI}{dt}=\frac{d(\dot{Q})}{dt}=\ddot{Q}

możemy wyciągnąć I przed nawias i otrzymamy:

I \left( \frac{Q}{C}+L\ddot{Q}+\dot{Q}R \right)=0

Aby to równanie było spełnione w dowolnej chwili t, wyrażenie w nawiasie powinno być równe 0. Po podzieleniu stronami przez L otrzymujemy:

\ddot{Q}+\frac{R}{L} \dot{Q} +\frac{1}{LC}Q=0

Współczynnik przy Q jest kwadratem pulsacji drgań własnych swobodnych obwodu LC:

\frac{1}{LC} = {\omega_0}^2

Współczynnik przy pierwszej pochodnej \dot{Q} oznaczamy przez 2β:

\frac{R}{L} = 2 \beta \Rightarrow \frac{R}{2L} = \beta

Równanie różniczkowe drgań elektrycznych gasnących:

\ddot{Q} + 2\beta \dot{Q} + {\omega_0}^2 Q = 0

Rozwiązaniem tego równania jest wzór:

Q = Q_m \ e^{- \beta t} \cos(\omega t + \varphi)

Częstość drgań gasnących:

\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}=\sqrt{\frac{1}{LC} - {\frac{R^2}{4L^2}}}
\beta^2 < \omega_0^2 \Rightarrow \frac{R^2}{4L^2} < \frac{1}{LC}

co oznacza, iż rozwiązanie równania różniczkowego drgań elektrycznych gasnących ma miejsce przy niezbyt dużym tłumieniu.

Zmiana napięcia na kondensatorze:

U = \frac{Q_m}{C}\ e^{-\beta t} \cos(\omega t +\varphi)=U_m e^{-\beta t} \cos(\omega t +\varphi)

Natężenie prądu jest przesunięte w fazie w stosunku do ładunku i napięcia na kondensatorze:

I = \dot{Q} = Q_m \ \omega_0 \ e^{- \beta t} \left[ - \frac {\beta}{\omega_0} \cos(\omega t + \varphi) - \frac{\omega}{\omega_0} \sin(\omega t + \varphi) \right] = Q_m \ \omega_0 \ e^{-\beta t} \cos(\omega t + \varphi + \alpha)

Dodatkowo:

\frac{\omega}{\omega_0}=\sin \alpha oraz \frac{\beta}{\omega_0}=\sin \alpha

Zatem natężenie prądu zmienia się harmonicznie z amplitudą gasnącą wykładniczo, przy czym tangens przesunięcia fazowego natężenia prądu w stosunku do napięcia wynosi:

\operatorname{tg} \alpha = \frac{\omega}{\beta} = \frac{\sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}}{\beta}=\frac{\sqrt{\frac{1}{LC} - {\frac{R^2}{4L^2}}}}{\frac{R}{2L}}

Dobroć obwodu, czyli wielkość proporcjonalna do liczby pełnych drgań Ne wykonywanych przez obwód w czasie, w ciągu którego amplituda maleje e razy.

D=\frac{\pi}{\delta} = \frac{\pi}{\beta T} = \frac{\omega}{2 \beta}

Przy małym tłumieniu:

\omega \approx \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Wobec czego:

D \approx \frac{\omega_0}{2 \beta}=\frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}

[edytuj] Linki zewnętrzne






Piraci nie mają za złe "kradzieży" ich logotypu
Logo popularnego serwisu torrentowego The Pirate Bay trafiło na okładkę książki o piratach. Wydawnictwo poinformowało potem prasę, że "piraci" zaczęli skarżyć się na ten fakt. Przedstawiciele TPB zaprzeczają i zapewniają, że ich logo można wykorzystywać dowolnie.
IPN: Teczki samorządowców online
Coraz więcej teczek osób pełniących funkcje publiczne dostępnych jest w internecie. Instytut Pamięci Narodowej zajął się teraz samorządowcami.
Kształć się przez całe życie
Rozpowszechnienie wiedzy na temat możliwości kształcenia ustawicznego oraz promocja idei Lifelong Learning to główne założenia projektu edukacyjnego przygotowanego przez portal Edustacja.pl.
Apple: Muzyka bez DRM w iTunes
Naciski wytwórni i rosnąca konkurencja zmusiły Apple do dokonania zmian w sklepie z cyfrową muzyką.
Jak bank nie da, pożycz w sieci
Zaostrza się konkurencja na rynku internetowych pożyczek - ruszył właśnie serwis Smava.pl, polska odnoga niemieckiego serwisu, w którym użytkownicy mogą sobie nawzajem pożyczać pieniądze

no host 906 sprawdz strone no host brak hosta