Algebra Liego - Nauka

Algebra Liego

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Algebra Liego – w matematyce, struktura algebraiczna z określonym działaniem dwuargumentowym zwanym nawiasem Liego. Algebry Liego mają swoje zastosowanie m.in. podczas studiowania grup Liego.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Algebra Liego nad ciałem K (zwykle K = \mathbb C lub K = \mathbb R) to przestrzeń liniowa X nad ciałem K z określonym działaniem dwuargumentowym [\cdot, \cdot]\colon X \times X \to X, nazywanym nawiasem Liego lub komutatorem, spełniającym dla dowolnych x, y, z \in X i \alpha, \beta \in K następujące warunki:

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Przemienna algebra Liego

Dowolna przestrzeń liniowa, w której zdefiniujemy nawias Liego dowolnych dwóch elementów jako równy zero, jest algebrą Liego. Taką algebrę Liego nazywamy przemienną lub abelową.

[edytuj] Iloczyn wektorowy

Nawias Liego w przestrzeni \mathbb R^3 definiujemy jako iloczyn wektorowy elementów. Łatwo sprawdzić, że takie działanie spełnia warunki z definicji algebry Liego.

[edytuj] Komutator

Algebrą Liego jest dowolna algebra łączna, w której definiujemy nawias Liego jako komutator, czyli

[a,b] = ab − ba.

Komutator automatycznie spełnia wszystkie trzy warunki z definicji nawiasu Liego.

Szczególnymi przypadkami tego rodzaju algebr Liego są:

algebra \mathfrak l(n, \mathbb C) 
zbiór wszystkich macierzy kwadratowych wymiaru n o elementach zespolonych:
algebra \mathfrak{sl}(n, \mathbb C) 
podalgebra \mathfrak l(n, \mathbb C) macierzy o śladzie równym zeru;
algebra \mathfrak u(n, \mathbb C) 
podalgebra \mathfrak l(n, \mathbb C) macierzy antyhermitowskich;
algebra \mathfrak{su}(n, \mathbb C) 
podalgebra \mathfrak l(n, \mathbb C) będąca przecięciem dwóch powyższych;
algebra \mathfrak{so}(n, \mathbb R) 
algebra antysymetrycznych macierzy kwadratowych wymiaru n o elementach rzeczywistych, w szczególności z antysymetryczności wynika, że ślad tych macierzy jest równy zeru.

[edytuj] Generatory

Istnieje pewne podobieństwo definicji zbioru generatorów grupy do definicji bazy przestrzeni liniowej.

Algebra Liego rozpięta jest na zbiorze liniowo niezależnych elementów (zbioru generatorów) X = xiei. Jest ona zdefiniowana przez wszystkie możliwe komutatory generatorów

[ei,ej] = ∑ fi,j,kek
k

.

Współczynniki fi,j,k nazywamy stałymi strukturalnymi. Jeżeli wszystkie komutatory są równe zeru, to algebra (grupa) jest nazywana abelową lub przemienną.

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Przesunięcia w przestrzeni trójwymiarowej

Zbiór generatorów ma trzy elementy: przesunięcie jednostkowe w kierunku osi Ox, Oy i Oz. Oznaczmy je przez X,Y,Z. Algebra Liego tej grupy to

[X,Y] = [Y,Z] = [Z,X] = 0.

Jest to więc grupa przemienna.

[edytuj] Obroty w przestrzeni trójwymiarowej

Zbiór generatorów ma trzy elementy: obrót jednostkowy w prawo wokół osi Ox, Oy i Oz. Oznaczmy je przez e1, e2, e3. Algebra Liego tej grupy:

[e1,e2] = e3,
[e2,e3] = e1,
[e3,e1] = e2.

Stałe strukturalne fi,j,k = εi,j,l określone są przez symbol Leviego-Civity w następujący sposób:

  • fi,j,k = 1, gdy permutacja (123) jest parzysta,
  • fi,j,k = − 1, gdy permutacja ta jest nieparzysta,
  • fi,j,k = 0, gdy któryś ze wskaźników się powtarza.

Jeżeli obrócimy układ o 90^\circ w prawo wokół osi Ox oraz 90^\circ w prawo wokół osi Oy, a następnie 90^\circ w lewo wokół osi Ox i 90^\circ w lewo wokół osi Oy, to nie wrócimy do punktu wyjścia – układ będzie obrócony o 90^\circ w lewo wokół osi Oz oraz 90^\circ w lewo wokół osi Oy w stosunku do układu początkowego. Nie jest to więc grupa abelowa.

[edytuj] algebra \mathfrak{su}(2)

Zbiór bezśladowych macierzy wymiaru 2 \times 2 rozpięty jest na trzech macierzach Pauliego σi (macierze te używane są także do opisu cząstek ze spinem połówkowym). Generatorami algebry \mathfrak{su}(2) są

e_i = -\tfrac{1}{2}i \sigma_i

Algebra \mathfrak{su}(2) jest algebrą Liego grupy SU(2) oraz grupy grupy SO(3) – grupy obrotów w przestrzeni trójwymiarowej.

[edytuj] Zobacz też






Harry Potter i Insygnia Śmierci
Harry Potter i Insygnia Śmierci (ang. Harry Potter and the Deathly Hallows) − siódmy i ostatni tom przygód Harry’ego Pottera autorstwa J. K. Rowling.
23 lipca 2007 polski tłumacz serii, Andrzej Polkowski podał, że polskojęzyczna wersja książki ukaże się o północy z 25 na 26 stycznia 2008.
Harry Potter i śmiertelne relikwie
"Harry Potter i śmiertelne relikwie" - taki tytuł nosić będzie najprawdopodobniej polskie wydanie najnowszej książki J.K. Rowling o Harrym Potterze. Tłumaczem siódmego tomu, tak jak w przypadku poprzednich, będzie Andrzej Polkowski.
Nowy Harry Potter po polsku jest już w internecie
Do dnia premiery angielskojęzycznej wersji nowej książki o Harrym Potterze, polscy fani przygód czarodzieja zdołali przetłumaczyć co najmniej 6 rozdziałów - dowiedziały się Wiadomości24.pl. Niecierpliwi tłumacze mieli ułatwione zadanie - piraci oryginał opublikowali w internecie. Oficjalna premiera polskiej wersji językowej dopiero za kilka miesięcy...
Pilnie strzeżona powieść J.K. Rowling do ściągnięcia w internecie
Nie pomogło 10 milionów funtów przeznaczone na utrzymanie w sekrecie losów Harry'ego Pottera. Książka jest już w sieci, mimo iż jej premiera zapowiadana jest na sobotę 21 lipca – dowiedziała się gazeta internetowa Wiadomości24.pl. Przygody młodego czarodzieja znajdują się w całości w internecie.
Okładka - Harry Potter część 7
W internecie można znaleźć nieoficjalną informację o projekcie okładki do 7 tomu Harrego Pottera. Zobacz...

niezarejestrowana strona brak hosta 906 brak hosta 906