Algebra
Z Wikipedii
Algebra – jeden z najstarszych działów matematyki powstały już w starożytności.
Spis treści |
[edytuj] Historia
 |
 Część zawartości tej strony może naruszać prawa autorskie Jeżeli oznaczyłeś tę stronę jako podejrzaną o naruszenie praw autorskich, dodaj link do sekcji zgłoszone artykuły na WP:NPA:
Tekst źródłowy prawdopodobnie pochodzi ze strony:
Link do tej strony został dodany do Wikipedia:Lista NPA.
|
[edytuj] Początek rozwoju. Pochodzenie nazwy
Słowo algebra pochodzi z tytułu dzieła uczonego arabskiego Alchwarizmiego (VIII / IX wiek) Hisab al-dżabr wa'l-mukabala (O odtwarzaniu i przeciwstawianiu) dotyczącego przenoszenia wyrazów o współczynnikach ujemnych z jednej strony równania na drugą oraz skracania równań stronami. Początkowo, jak wskazuje pochodzenie jej nazwy, algebra zajmowała się rozwiązywaniem równań pierwszego i drugiego stopnia o współczynnikach liczbowych.
Wraz z opublikowaniem przez matematyka włoskiego Girolamo Cardano wzorów odkrytych przez innego Włocha Nicolo Tartaglię, nazwanych później wzorami Cardana, do zakresu algebry weszły równania trzeciego i czwartego stopnia.
[edytuj] Teoria Galois
Nieudane próby znalezienia wzorów na pierwiastki równań wyższych stopni zahamowały na pewien czas rozwój algebry w tym kierunku. Dopiero odkrycie w 1832 roku przez matematyka francuskiego Évariste'a Galois warunków koniecznych i dostatecznych na istnienie takich wzorów zapoczątkowało nowy kierunek badań noszący nazwę teorii Galois (kilka lat wcześniej matematyk norweski Niels Abel wykazał, że nie istnieją ogólne wzory na pierwiastki równań stopnia wyższego niż czwarty).
W roku 1591 matematyk francuski François Viète zastąpił współczynniki liczbowe występujące w równaniach literami i wykrył pewne zależności między pierwiastkami równania (bez znajdowania dla nich wzorów), a jego współczynnikami (tak zwane wzory Viète'a). Odtąd symbole literowe, występujące dotychczas tylko w geometrii, pojawiły się w arytmetyce.
[edytuj] Rachunek literowy
Wyrażenie za pomocą liter podstawowych własności działań arytmetycznych zapoczątkowało tak zwany rachunek literowy i wpłynęło na zmianę poglądu na algebrę: z nauki o rozwiązywaniu równań przekształciła się ona w naukę o działaniach na literach (tak właśnie rozumie się obecnie algebrę w nauczaniu szkolnym). Odtąd w algebrze obiektami były nie tylko liczby, ale także wielomiany i funkcje wymierne (ilorazy wielomianów) - wykonywano na nich operacje oraz rozkładano wielomiany na czynniki.
Z czasem określono w algebrze działania na innych obiektach nieliczbowych, np. na wektorach, macierzach czy zbiorach, pojawiły się odpowiednio algebra wektorów, algebra macierzy, algebra zbiorów i inne struktury algebraiczne.
[edytuj] Przykłady wyrażeń algebraicznych
- 5 + c - suma,
- d − f – różnica,
- 4g lub
– iloczyn, - 2a + 4c – kombinacja liniowa lub iloczyn skalarny (w zależności od kontekstu),
– iloraz,- a5 - potęga,
[edytuj] Przykład przekształcenia wyrażenia algebraicznego
- 4d + 5a + 9d + 5a = 13d + 10a – redukcja wyrazów podobnych.
[edytuj] Dalszy rozwój abstrakcyjności
Badanie własności działań w całkowitym oderwaniu od rodzaju obiektów, na których są one określone, stanowi dalszy etap w rozwoju algebry. Klasyfikacja zbiorów ze względu na własności określonych na nich działań wyłoniła wiele działów współczesnej matematyki. Jedna z tych teorii nosi nazwę teorii algebr liniowych (lub teorii algebr). Oznacza to, że algebrą został tu nazwany nie dział matematyki, lecz pewien obiekt matematyczny (zob. K-algebra); przykładem algebry liniowej jest zbiór wielomianów z dodawaniem i mnożeniem wielomianów oraz mnożeniem wielomianów przez liczby.
Dalszym krokiem w rozwoju algebry jest wprowadzenie pojęcia algebry ogólnej. Jest to para (A,D), gdzie A jest dowolnym zbiorem, a D zbiorem dowolnych operacji (funkcji) określonych na zbiorze A. Dział matematyki zajmujący się algebrami ogólnymi nosi nazwę algebry uniwersalnej.
[edytuj] Podział
Niektóre działy algebry to:
- algebra Boole'a
- algebra homologiczna
- algebra liniowa
- teoria równań algebraicznych
- teoria modułów
- algebra topologiczna
- algebra uniwersalna
- algebra wieloliniowa
- algebraiczna K-teoria
- teoria monoidów i półgrup
- teoria grup
- teoria pierścieni
- teoria pierścieni z dzieleniem (ciał nieprzemiennych)
- teoria prawie ciał
- teoria ciał
- teoria algebr Clifforda
- teoria algebr Jordana
- teoria algebr Lie i grup Lie
- geometria algebraiczna
- teoria kategorii
- teoria krat Birkhoffa
- teoria kodów
[edytuj] Zobacz też
[edytuj] Linki zewnętrzne
- Skrypt do przedmiotu Algebra I na wydziale MIMUW autorstwa A. Bojanowska, P. Traczyk (.ps)
|
|
niezarejestrowana strona niezarejestrowana strona brak hosta no host 906